Schnelle Matrixexponentiation

Question

Gibt es eine schnellere Methode der Matrixexponentiation zur Berechnung von M^n (wobei M eine Matrix und n eine ganze Zahl ist) als der einfache Divide and Conquer-Algorithmus.

Answer 1

Sie könnten die Matrix in Eigenwerte und Eigenvektoren einteilen. Dann erhalten Sie

M = V^-1 * D * V 

Wo V ist die Eigenvektormatrix und D ist eine diagonale Matrix. Um dies zu der N-ten potenzieren, erhalten Sie so etwas wie:

M^n = (V^-1 * D * V) * (V^-1 * D * V) * ... * (V^-1 * D * V) 
    = V^-1 * D^n * V 

Da alle V und V^-1 Bedingungen kündigen.

Da D diagonal ist, müssen Sie nur eine Reihe von (echten) Zahlen auf die n-te Potenz erhöhen, anstatt auf volle Matrizen. Sie können das in logarithmischer Zeit in n tun.

Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren ist r^3 (wobei r die Anzahl der Zeilen/Spalten von M ist). Abhängig von den relativen Größen von r und n könnte dies schneller sein oder nicht.

Answer 2

Exponentiation by squaring wird häufig verwendet, um hohe Leistungen von Matrizen zu erhalten.

Answer 3

Ich würde Ansatz zur Berechnung der Fibbonacci-Sequenz in matrix form empfehlen empfehlen. AFAIK ist seine Effizienz O (log (n)).

Answer 4

Es ist ziemlich einfach, Euler schnellen Leistungsalgorithmus zu verwenden. Verwenden Sie den nächsten Algorithmus.

#define SIZE 10 

//It's simple E matrix 
// 1 0 ... 0 
// 0 1 ... 0 
// .... 
// 0 0 ... 1 
void one(long a[SIZE][SIZE]) 
{ 
    for (int i = 0; i < SIZE; i++) 
     for (int j = 0; j < SIZE; j++) 
      a[i][j] = (i == j); 
} 

//Multiply matrix a to matrix b and print result into a 
void mul(long a[SIZE][SIZE], long b[SIZE][SIZE]) 
{ 
    long res[SIZE][SIZE] = {{0}}; 

    for (int i = 0; i < SIZE; i++) 
     for (int j = 0; j < SIZE; j++) 
      for (int k = 0; k < SIZE; k++) 
      { 
       res[i][j] += a[i][k] * b[k][j]; 
      } 

    for (int i = 0; i < SIZE; i++) 
     for (int j = 0; j < SIZE; j++) 
      a[i][j] = res[i][j]; 
} 

//Caluclate a^n and print result into matrix res 
void pow(long a[SIZE][SIZE], long n, long res[SIZE][SIZE]) 
{ 
    one(res); 

    while (n > 0) { 
     if (n % 2 == 0) 
     { 
      mul(a, a); 
      n /= 2; 
     } 
     else { 
      mul(res, a); 
      n--; 
     } 
    } 
} 

Nachstehend finden Sie für Zahlen Äquivalent finden:

long power(long num, long pow) 
{ 
    if (pow == 0) return 1; 
    if (pow % 2 == 0) 
     return power(num*num, pow/2); 
    else 
     return power(num, pow - 1) * num; 
}