Diskretisierte kontinuierliche Fourier-Transformation mit numpy

Question

Betrachten Sie eine Funktion f (t), wie berechne ich die kontinuierliche Fouriertransformation g (w) und plotte sie (mit numpy und matplotlib)?

Diese oder das inverse Problem (G (w) gegeben, Auftragung von f (t) nicht bekannt) tritt auf, wenn es keine analytische Lösung für das Fourier-Integral existiert.

Answer 1

Sie können die numpy FFT module dafür verwenden, müssen aber etwas zusätzliche Arbeit zu tun. Zuerst betrachten wir das Fourier-Integral und diskretisieren es: Hier sind k, m ganze Zahlen und N die Anzahl der Datenpunkte für f (t). Diese Diskretisierung benutzen wir

Die Summe in dem letzten Ausdruck ist genau die diskreten Fourier-Transformation (DFT) numpy verwendet (siehe Abschnitt „Implementierungsdetails“ des numpy FFT module) erhalten. Mit diesem Wissen können wir den folgenden Python-Skript

import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as pl 

#Consider function f(t)=1/(t^2+1) 
#We want to compute the Fourier transform g(w) 

#Discretize time t 
t0=-100. 
dt=0.001 
t=np.arange(t0,-t0,dt) 
#Define function 
f=1./(t**2+1.) 

#Compute Fourier transform by numpy's FFT function 
g=np.fft.fft(f) 
#frequency normalization factor is 2*np.pi/dt 
w = np.fft.fftfreq(f.size)*2*np.pi/dt 


#In order to get a discretisation of the continuous Fourier transform 
#we need to multiply g by a phase factor 
g*=dt*np.exp(-complex(0,1)*w*t0)/(np.sqrt(2*np.pi)) 

#Plot Result 
pl.scatter(w,g,color="r") 
#For comparison we plot the analytical solution 
pl.plot(w,np.exp(-np.abs(w))*np.sqrt(np.pi/2),color="g") 

pl.gca().set_xlim(-10,10) 
pl.show() 
pl.close() 

Die resultierende Kurve zeigt, dass das Skript