Triangulation & Direkte lineare Transformation

Question

Nach Hartley/Zisserman Multiview Geometery, Algorithmus 12: Die optimale Triangulationsmethode (p318), ich habe die entsprechenden Bildpunkte xhat1 und xhat2 (Schritt 10). In Schritt 11 muss der 3D-Punkt Xhat berechnet werden. Eine solche Methode ist die direkte lineare Transformation (DLT), die in 12.2 (p312) und 4.1 (p88) erwähnt wird.

Die homogene Methode (DLT), p312-313, heißt es, dass es eine Lösung, wie die Einheit singuläre Vektor findet den kleinsten Singulärwert von A entspricht, also

A = [xhat1(1) * P1(3,:)' - P1(1,:)' ; 
     xhat1(2) * P1(3,:)' - P1(2,:)' ; 
     xhat2(1) * P2(3,:)' - P2(1,:)' ; 
     xhat2(2) * P2(3,:)' - P2(2,:)' ]; 

[Ua Ea Va] = svd(A); 
Xhat = Va(:,end); 

plot3(Xhat(1),Xhat(2),Xhat(3), 'r.'); 

jedoch A ein 16x1 Matrix, was zu einem Va führt, das 1x1 ist.

Was mache ich falsch (und eine Lösung), um den 3D-Punkt zu bekommen?

Für das, was ihren Wert Beispieldaten:

xhat1 = 

    1.0e+009 * 

    4.9973 
    -0.2024 
    0.0027 


xhat2 = 

    1.0e+011 * 

    2.0729 
    2.6624 
    0.0098 


P1 = 

    699.6674   0 392.1170   0 
     0 701.6136 304.0275   0 
     0   0 1.0000   0 


P2 = 

    1.0e+003 * 

    -0.7845 0.0508 -0.1592 1.8619 
    -0.1379 0.7338 0.1649 0.6825 
    -0.0006 0.0001 0.0008 0.0010 


A = <- my computation 

    1.0e+011 * 

    -0.0000 
     0 
    0.0500 
     0 
     0 
    -0.0000 
    -0.0020 
     0 
    -1.3369 
    0.2563 
    1.5634 
    2.0729 
    -1.7170 
    0.3292 
    2.0079 
    2.6624 

aktualisieren für Abschnitt xi Arbeits Code in Algorithmus

% xi 
A = [xhat1(1) * P1(3,:) - P1(1,:) ; 
    xhat1(2) * P1(3,:) - P1(2,:) ; 
    xhat2(1) * P2(3,:) - P2(1,:) ; 
    xhat2(2) * P2(3,:) - P2(2,:) ]; 

A(1,:) = A(1,:)/norm(A(1,:)); 
A(2,:) = A(2,:)/norm(A(2,:)); 
A(3,:) = A(3,:)/norm(A(3,:)); 
A(4,:) = A(4,:)/norm(A(4,:)); 

[Ua Ea Va] = svd(A); 
X = Va(:,end); 
X = X/X(4); % 3D Point 

Answer 1

Wie im Buch erwähnt wird (s 12.2), p^{i T} sind die Zeilen von P. Daher müssen Sie P1(k,:) nicht transponieren (d. H. Die richtige Formulierung ist A = [xhat1(1) * P1(3,:) - P1(1,:) ; ...).

Ich hoffe, das war nur ein Tippfehler.

Zusätzlich wird empfohlen, jede Zeile von A mit seiner L2-Norm zu normalisieren, dh für alle i

A(i,:) = A(i,:)/norm(A(i,:));

Und wenn man die triangulierten 3D-Punkte zeichnen möchten, müssen Sie Xhat normalisieren vor (seine sinnlose sonst) Plotten, dh

Xhat = Xhat/Xhat(4);