Wie löst man ein System von vertikalen Ellipsen, die dasselbe Zentrum teilen?

Question

Ein Programm, das ich schreibe, muss den Schnittpunkt von zwei Ellipsen finden, beide sind vertikal und teilen sich das gleiche Zentrum. Ich brauche nur die erste Lösung der vier.

Die Werte, die ich zur Lösung dieses Problems verwenden kann, sind der Radius der vertikalen und horizontalen Komponenten jeder Ellipse oder die Werte "a" und "b", wenn Sie die Standardgleichung für eine Ellipse verwenden. Ich habe zuvor konische nichtlineare Systeme gelöst, aber ich habe keine Ahnung, wie ich die algebraische Idee in einen Algorithmus umsetzen soll.

Das scheint relativ einfach, aber ich bin völlig fest. Tut mir leid, wenn das eine dumme Frage ist, aber ich würde immer noch eine Antwort zu schätzen wissen.

Answer 1

Nehmen Ellipsengleichung in Form (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 für Ihre beiden Paare (a, b), Faktor y^2 nach rechts, und stellen linken Seiten gleich:

(x*b1/a1)^2 - b1^2 = y^2 (1) 
(x*b2/a2)^2 - b2^2 = y^2 

Dies vereinfacht sich zu:

(x*b1/a1)^2 - b1^2 = (x*b2/a2)^2 - b2^2 

Eine quadratische Gleichung für x, die Ihnen höchstens zwei reelle Lösungen (x1, x2) gibt. Die Ellipsengleichung (1) mit x1 wird Ihnen zwei Werte von y geben (benennen Sie sie y1, y2). Ihre Lösungen sind:

(x1, y1) 
(x1, y2) 
(x2, y1) 
(x2, y2) 

Natürlich kann es weniger Schnittpunkte, aber es ist einfach zu bestimmen, da einige quadratische Gleichungen komplexe Lösungen haben.

Answer 2

Angenommen, Sie haben das Koordinatensystem so verschoben, dass der Mittelpunkt der Ellipse im Ursprung liegt. Dann können beide Ihre Ellipsen beschrieben werden, um eine kanonische Gleichung:

wo ein, b, ein, b sind ell ipses 'jeweilige Parameter.

Das einzige, was übrig bleibt, ist dieses Gleichungssystem zu lösen. Zum Beispiel Wolfram|Alpha kann es für Sie tun (hier ersetzt ich c für ein und d für b).

Angenommen die Ellipsen sind nicht-trivial, ein mögliches Paar von Lösungen ist:

es andere Paare sind, die vor der Wurzel unterschiedlich +/- Vorzeichen haben.