Die Konzepte, die diesen Transformationen zugrunde liegen, lassen sich leichter erkennen, wenn man zuerst einen eindimensionalen Fall betrachtet. Das Bild here zeigt eine Rechteckwelle zusammen mit mehreren der ersten Terme einer unendlichen Reihe. Betrachten Sie es, beachten Sie, dass, wenn die Funktionen für die Begriffe addiert werden, beginnen sie, sich der Form der Rechteckwelle anzunähern. Je mehr Begriffe Sie addieren, desto besser ist die Annäherung. Um jedoch von einer Annäherung an das genaue Signal zu kommen, müssen Sie eine unendliche Anzahl von Termen summieren. Der Grund dafür ist, dass die Rechteckwelle diskontinuierlich ist. Wenn Sie an eine Rechteckwelle als Funktion der Zeit denken, geht sie in der Zeit von -1 auf 1 über. Um so etwas darzustellen, bedarf es einer unendlichen Reihe. Sehen Sie sich die Handlung der Serienbegriffe noch einmal an. Der erste ist rot, der zweite gelb. Aufeinanderfolgende Begriffe haben mehr "auf und ab" Übergänge. Diese sind von der zunehmenden Häufigkeit jedes Begriffs. Wenn man mit der Rechteckwelle als Funktion der Zeit und jedem Serienglied eine Funktion der Frequenz hält, gibt es zwei äquivalente Darstellungen: eine Funktion der Zeit und eine Funktion der Frequenz (1/Zeit).
In der realen Welt gibt es keine Rechteckwellen. Nichts passiert in der Zeit Null. Audiosignale belegen beispielsweise den Bereich 20 Hz bis 20 kHz, wobei Hz 1/Zeit ist. Solche Dinge können mit endlichen Reihen dargestellt werden.
Für Bilder, die Mathematik sind die gleichen, aber zwei Dinge sind unterschiedlich. Erstens ist es zweidimensional. Zweitens macht der Begriff der Zeit keinen Sinn. Im 1D-Sinn ist die Rechteckwelle lediglich eine Funktion, die einen numerischen Wert für ein Argument gibt, von dem wir sagten, es sei Zeit. Ein (statisches) Bild ist eine Funktion, die einen numerischen Wert für jedes Zeilenpaar, Spalten-Indices, liefert. Mit anderen Worten, das Bild ist eine Funktion eines 2D-Raums, der ein rechteckiger Bereich ist. Eine solche Funktion kann in ihrer räumlichen Häufigkeit dargestellt werden. Um zu verstehen, welche räumliche Frequenz vorliegt, betrachten Sie ein 8-Bit-Graustufenbild und ein Paar benachbarter Pixel. Der steilste Übergang, der im Bild auftreten kann, reicht von 0 (sagen wir schwarz) bis 255 (sagen wir weiß) über die Entfernung von 1 Pixel. Dies entspricht direkt dem höchsten (letzten) Term einer Seriendarstellung.
Eine zweidimensionale Fourier (oder Cosinus) -Transformation des Bildes führt zu einem Array von Werten derselben Größe wie das Bild, das die gleiche Information nicht als Funktion des Raums, sondern als Funktion von 1/Raum darstellt. Die Information wird von der niedrigsten zur höchsten Frequenz entlang der Diagonalen von der höchsten Zeilen- und Spaltenindizes des Ursprungs angeordnet. Ein Beispiel ist here.
Für die Bildkomprimierung können Sie ein Bild transformieren, einige höhere Terme verwerfen und die verbleibenden zurück in ein Bild umwandeln, das weniger Details aufweist als das Original. Obwohl es in ein Bild der gleichen Größe zurück transformiert wird (wobei die entfernten Terme durch Null ersetzt werden), nimmt es im Frequenzbereich weniger Platz ein.
Eine andere Möglichkeit, es zu betrachten, ist das Reduzieren eines Bildes auf eine kleinere Größe. Wenn Sie zum Beispiel versuchen, die Größe eines Bildes zu reduzieren, indem Sie drei von vier Pixeln in einer Reihe und drei von vier Reihen wegwerfen, haben Sie ein Array von 1/4 der Größe, aber das Bild wird schrecklich aussehen. In den meisten Fällen wird dies mit einem 2D-Interpolator erreicht, der neue Pixel erzeugt, indem rechteckige Gruppen der größeren Bildpixel gemittelt werden. Die Interpolation wirkt sich dabei ähnlich aus, indem sie Terme in der Frequenzdomäne wegwirft, nur ist sie viel schneller zu berechnen.
Um mehr Dinge zu tun, werde ich auf eine Fourier-Transformation als ein Beispiel beziehen. Eine gute Diskussion des Themas wird zeigen, wie die Fourier-Cosinus-Transformation zusammenhängt. Die Fourier-Transformation eines Bildes kann nicht direkt als solche betrachtet werden, da sie aus komplexen Zahlen besteht. Es ist bereits in zwei Arten von Informationen unterteilt, die realen und imaginären Teile der Zahlen. Normalerweise sehen Sie Bilder oder Diagramme von diesen. Aber es ist (normalerweise) sinnvoller, die komplexen Zahlen in ihre Größe und ihren Phasenwinkel zu trennen. Dies nimmt einfach eine komplexe Zahl auf der komplexen Ebene und schaltet auf Polarkoordinaten um.
Denken Sie für das Audiosignal an die kombinierten Funktionen sin und cosine, die in ihren Argumenten eine zusätzliche Größe verwenden, um die Funktion hin und her zu verschieben (als Teil der Signaldarstellung). Für ein Bild beschreibt die Phaseninformation, wie jeder Term der Reihe in Bezug auf die anderen Terme im Frequenzraum verschoben ist. In Bildern sind die Kanten (hoffentlich) so deutlich, dass sie durch die niedrigst frequenten Terme im Frequenzbereich gut charakterisiert sind. Dies geschieht nicht, weil sie abrupte Übergänge sind, sondern weil sie z. viel schwarzer Bereich neben viel hellerem Bereich. Betrachten Sie eine eindimensionale Scheibe einer Kante. Die Graustufe ist Null, geht dann nach oben und bleibt dort. Visualisiere die Sinuswelle, die der erste Approximationsterm wäre, wo sie den Mittelpunkt des Signalübergangs bei sin (0) kreuzt. Der Phasenwinkel dieses Ausdrucks entspricht einer Verschiebung im Bildraum. Eine gute Illustraion davon ist verfügbar here. Wenn Sie versuchen, Formen zu finden und eine Referenzform zu erstellen, ist dies eine Möglichkeit, sie zu erkennen.
