Präzision in Plots und in N []

Question

Ich habe ein schönes Polynom, das ist in der Tat die nicht gepostete Antwort auf this question (Ich denke, es ist Hausaufgaben, also werde ich nichts posten, bis der Fragesteller etwas Hirnaktivität zeigt: D):

jj = 1 + 54 #1 + 855 #1^2 + 6300 #1^3 + 37296 #1^4 + 221706 #1^5 + 
    385782 #1^6 + 1899783 #1^7 - 713709 #1^8 - 8772909 #1^9 + 
    1718343 #1^10 + 17264169 #1^11 - 3659847 #1^12 - 20026899 #1^13 + 
    3423276 #1^14 + 13768320 #1^15 - 1610712 #1^16 - 5314050 #1^17 + 
    881651 #1^18 + 1545093 #1^19 - 151263 #1^20 - 298626 #1^21 - 
    24552 #1^22 + 21978 #1^23 + 6594 #1^24 + 792 #1^25 + 
    45 #1^26 + #1^27 & 

Ich möchte die erste Wurzel. Just checking:

p[f_] := Plot[f[t], {t, Root[f, 1] - .003, Root[f, 1] + .003}]; 

p[jj] 

scheint steil, aber gut. Aber schauen Sie jetzt:

In[394]:= N[jj[Root[jj, 1]]] 

Out[394]= -2.9523*10^13 

Wenn ich für einige Präzision fragen:

In[396]:= N[jj[Root[jj, 1]], 1] 

During evaluation of In[396]:= N::meprec: Internal precision limit $MaxExtraPrecision = 50.` reached while evaluating 1+<<11>>+<<18>>. >> 

Out[396]= 0.*10^-49 

So ist die Frage ... ist Wie anders ist die Präzision in Mma Verwaltung, wenn Sie für einen Plot stellen und wenn Sie fragen, für ein numerisches Ergebnis?

Answer 1

Das Problem besteht darin, zwischen absoluter und relativer Genauigkeit zu unterscheiden. Rant unten, aber zuerst die Lösung:
Nach der Dokumentation für AccuracyGoal und PrecisionGoal, wird Mathematica bemüht sich, das Ergebnis x mit einem numerischen Fehler zurück weniger als 10^{-a} + 10^{-p} Abs[x] wo a ist AccuracyGoal und p ist PrecisionGoal. Dies führt zu einem Problem, wenn ein PrecisionGoal für ein Null-Ergebnis angegeben wird. Lösung: Geben Sie nur AccuracyGoal an.
Für N tun Sie dies durch eine Precision,Accuracy Tupel geben:

In[113]:= N[jj[Root[jj,1]],{0,24}] 
Out[113]= 0.*10^-24 

<rant> Die Verwendung der Begriffe „Genauigkeit“ und „Präzision“ in Mathematica sehr schlampig ist. Sie sollten wirklich "absolute Genauigkeit" und "relative Genauigkeit" genannt werden. Siehe z.B. Wikipedia für eine Diskussion der richtigen Terminologie. </rant >

Answer 2

Die Genauigkeit des Diagramms entspricht (ungefähr) der Grafikgröße/Auflösung. Dies ist eine Optimierung in Mathematica.

Answer 3

Nun, ich denke nicht, dass die Berechnungen, die von Ihrem Plot-Befehl ausgeführt werden, denen des N-Befehls entsprechen. Sie können überprüfen, welche Punkte werden während der Plotten eingesteckt mit Reap und Sow:

p[f_] := Plot[f[t], {t, Root[f, 1] - 0.003, Root[f, 1] + 0.003}, 
    EvaluationMonitor -> Sow[t]]; 
Reap[p[jj]][[2, 1]] 

Beachten Sie, dass Plot verwendet nur Maschinengenauigkeit Zahlen. Dies unterscheidet sich sehr von Ihrem N-Befehl, bei dem Sie den exakten Stamm der Funktion einfügen. Die Schwierigkeit bei der Berechnung mit beliebiger Genauigkeit tritt auf, da Sie versuchen, eine exakte Null zu schätzen, und Mathematica kann keine Genauigkeit an das Ergebnis anhängen. Dies kann mit viel einfacheren Polynomen geschehen.

x0 = x /. First[Solve[x^5 - x - 1 == 0, x]]; 
N[x0^5 - x0 - 1, 9]