Wie findet man die quadratische Obergrenze des kleinsten quadratischen Fehlers?

Question

Ich habe einige Daten des Formulars

x1[i], x2[i], x3[i], z[i],

wo z[i] eine unbekannte deterministische Funktion von x1[i], x2[i], and x3[i] ist. Ich würde gerne eine quadratische Funktion u(x1, x2, x3)= a11*x1^2 + a22*x2^2 + a33*x3^2 + a12*x1*x2 + ... + a0 finden, die die Daten überbrückt, d. H. u(x1[i], x2[i], x3[i]) >= z[i] für alle i, und das minimiert die Summe der quadrierten Fehler, die den Beschränkungen unterliegen.

Gibt es einen rechnerisch effizienten Lösungsansatz in Python oder Matlab?

Answer 1

Es gibt eine sehr einfache Lösung. Verwenden Sie einfach die polynomiale Regression in Mathlab (http://www.matrixlab-examples.com/polynomial-regression.html). Sie erhalten eine bestimmte Funktion P (x1 [i], x2 [i], x3 [i]). 1. Dann für jeden i Berechnung Ausdruck Diff [i] = P (x1 [i], x2 [i], x3 [i]) - z [i]. Sie erhalten einige Array Diff. 2. Wählen Sie alle negativen Werte aus. 3. Suchen Sie den minimalen Wert in Diff: M = Min (Diff). 4. Die gewünschte Funktion ist F (x1 [i], x2 [i], x3 [i]) = P (x1 [i], x2 [i], x3 [i]) + Abs (M), wobei Abs (M) - es ist Wert ohne das Vorzeichen von M.

Aber wenn Sie nicht nur auf quadratische Funktionen beschränkt sind, können Sie den Grad des Polynoms variieren und schließlich eine genauere Lösung erhalten.

Answer 2

Ihr Problem klingt wie ein quadratic programming problem mit linearen Einschränkungen. Es gibt effiziente Algorithmen, um diese zu lösen, und sie werden auch in Matlab und Python implementiert; siehe quadprog bzw. CVXOPT.