Maximale Anzahl von Dezimalstellen, die sich auf ein Doppel auswirken können

Question

Betrachten Sie Dezimaldarstellungen der Form d1.d2d3d4d5 ... dnExxx wobei xxx ein beliebiger Exponent ist und beide d1 und dn ungleich Null sind.

Ist das Maximum n so bekannt, dass es eine dezimale Darstellung d1.d2d3d4d5 ... dnExxx gibt, so dass das Intervall (d1.d2d3d4d5 ... dnExxx, d1.d2d3d4d5 ... ((dn) +1) Exxx) enthält ein IEEE 754 Double?

n sollte mindestens 17. Die Frage ist, wie weit über 17.

Diese Zahl n hat etwas mit der Anzahl der Stellen zu tun, dass es genug ist, in einem Dezimal-Doppelwandler zu berücksichtigen solche als strtod(). Ich schaute auf den Quellcode für David M. Gay's implementation in der Hoffnung, dort eine Antwort zu finden. Es gibt eine Anspielung auf "40", aber es ist unklar, ob dies eine Konsequenz eines guten mathematischen Ergebnisses oder nur eine statistisch sichere Grenze ist. Auch der Kommentar über "Abschneiden" klingt wie 0,500000000000000000000000000000000000000000000000000001 kann in Runde-aufwärts-Modus auf 0,5 umgewandelt werden.

Musl's implementation scheint etwa 125 * 9 Ziffern zu lesen, die eine Menge ist. Dann schaltet er auf „sticky“ Modus:

if (c!='0') x[KMAX-4] |= 1; 

Und schließlich, wie sich die Antwort ändern, wenn Substitution „enthält eine IEEE 754 double“ mit „enthält den Mittelpunkt von zwei aufeinander folgenden IEEE 754 doubles“?

Answer 1

Wenn Sie eine subnormale Zahl mit ungeraden Signifikanden haben, das heißt, ein ungerades Vielfaches von 2^(-1074), haben Sie eine Zahl, deren letzte Ziffer ungleich Null in der Dezimaldarstellung ist die 1.074 ^th nach dem Komma. Sie haben dann etwa 300 Nullen direkt hinter dem Dezimalpunkt, so dass die Zahl etwa 750-770 signifikante Dezimalziffern hat. Der kleinste positive Unternormale, 2^(-1074), hat 751 signifikante Ziffern, und der größte positive Unternormale, (2^52-1)*2^(-1074), hat 767 signifikante Ziffern (ich denke, das ist das Maximum).

So gibt mindestens eine Sequenz d1, ..., d766 der Dezimalstellen so ist, dass es ein IEEE754 ist double im offenen Intervall

(d1.d2...d766E-308, d1.d2...(d766 + 1)E-308) 

Die Antwort ändert sich nicht viel, wenn wir „enthält den Mittelpunkt von zwei aufeinanderfolgenden IEEE754 betrachten double s ", da subnormal double s alle ungefähr die gleiche Menge an signifikanten Dezimalziffern haben, und der Mittelpunkt von zwei aufeinander folgenden auch.

Im schlimmsten Fall wird die gesamte Ziffernfolge muss (man denkt "0.5000000...0001" mit beliebig vielen Nullen vor den letzten 1, der bestimmt, dass das Ergebnis 0.5 + 0.5^53 ist und nicht 0.5 wenn weg von Null Rundung oder oben) verbraucht werden.

Allerdings gibt es nur

floor(DBL_MANT_DIG * log 2/log 10) + 2 = 17 

signifikanten Dezimalstellen notwendig, zwischen verschiedenen double Werten zu unterscheiden, so dass eine relativ einfache, wenn auch wahrscheinlich nicht sehr effizient, die Methode der Analyse des ersten zu analysieren wäre (zumindest 17) Ziffern (und der Exponent) zum nächsten double, und vergleichen Sie die Eingabezeichenfolge mit der genauen Darstellung dieses double Wertes (und seines Nachbarn).