Exponential-/Poisson-Verteilung

Question

Tom betritt die Poststelle, wo jeweils 5 Personen von einem anderen Verkäufer bedient werden. Er wird abberufen, sobald einer der 5 anwesenden Personen fertig ist. Die Servicezeit für jedes Individuum pro Cleark hat eine exponentielle Verteilung mit einer durchschnittlichen Servicezeit von 5 Minuten und ist unabhängig von allen anderen Servicezeiten. Finde die Wahrscheinlichkeit, dass Tom mehr als 2 Minuten warten muss, bevor er angerufen wird.

Ich kämpfe mit der Festlegung, wie man das einrichten, vor allem mit der Tatsache, dass 5 Personen bedient werden.

Answer 1

Damit Tom mehr als 2 Minuten warten kann, muss jeder der 5 Angestellten mehr als 2 Minuten bei seinen jeweiligen Kunden verbringen. Wenn x also die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein einzelner Verkäufer länger als 2 Minuten braucht (ich lasse Sie x berechnen), dann wäre die endgültige Antwort nur x zur Potenz 5. Dies ist eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung. P (Tom wartet länger als 2 Minuten) = P (Schreiber 1 dauert länger als 2 Minuten, Schreiber 2 dauert länger als 2 Minuten usw.) = P (ein einzelner Schreiber braucht länger als 2 Minuten)^5.

Answer 2

Hier ist, wie Sie das Problem mit Hilfe der Theorie lösen können (mit speicherlose Eigenschaft der Exponentialverteilung, mit der Tatsache, dass die Zufallsvariablen sind iid) und auch mit Simulation mit R:

# P(/\(X_i > 2)) = Prod_i(P((X_i > 2))), i=1,..,5, X_i ~ Exp(1/5) i.i.d., where /\ denotes intersection 
# P((X_i > 2)) = F_X_i(2) = exp(-(1/5)*2), F is th CDF function 

# with theory 
(exp(-(1/5)*2))^5 
# [1] 0.1353353 

(1-pexp(2, rate=1/5))^5 
# [1] 0.1353353 

# with simulation 
set.seed(1) 
res <- replicate(10^6,{rexp(5, rate=1/5)}) 
probs <- table(colSums(res > 2))/ncol(res) 

probs # prob that exactly i clerks will have service time > 2, i=1,..,5 
# we are interested in the event that i = 5 

#  0  1  2  3  4  5 
#0.003900 0.039546 0.161347 0.327012 0.332583 0.135612 

barplot(probs)