Shift Theorem in diskreter Fourier-Transformation

Question

Ich versuche, ein Problem mit Python + Numpy zu lösen, in dem ich einige Funktionen des Typs habe, die ich mit einer anderen Funktion falten muss. Um den Code zu optimieren, habe ich das fft von f und g durchgeführt, ich habe sie multipliziert und dann die inverse Transformation durchgeführt, um das Ergebnis zu erhalten. Als weitere Optimierung wurde mir klar, dass ich dank des Verschiebungssatzes einfach das fft von f (x, y, z) berechnen und dann mit einem Phasenfaktor multiplizieren kann, der von abhängt, um das fft zu erhalten von . Insbesondere , wobei N die Länge von sowohl x als auch y ist.

Ich habe versucht, diese einfache Formel mit Python + Numpy zu implementieren, aber es scheitert aus irgendeinem Grund, der für mich im Moment unklar ist, also frage ich die Hilfe der SO-Community, um herauszufinden, was ich bin fehlt.

Ich biete auch ein einfaches Beispiel.

In [1]: import numpy as np 
In [2]: x = np.arange(-10, 11) 
In [3]: base = np.fft.fft(np.cos(x)) 
In [4]: shifted = np.fft.fft(np.cos(x-1)) 
In [5]: w = np.fft.fftfreq(x.size) 
In [6]: phase = np.exp(-2*np.pi*1.0j*w/x.size) 
In [7]: test = phase * base 
In [8]: (test == shifted).all() 
Out[8]: False 
In [9]: shifted/base 
Out[9]: 
array([ 0.54030231 -0.j  , 0.54030231 -0.23216322j, 
     0.54030231 -0.47512034j, 0.54030231 -0.7417705j , 
     0.54030231 -1.05016033j, 0.54030231 -1.42919168j, 
     0.54030231 -1.931478j , 0.54030231 -2.66788185j, 
     0.54030231 -3.92462627j, 0.54030231 -6.74850534j, 
     0.54030231-20.55390586j, 0.54030231+20.55390586j, 
     0.54030231 +6.74850534j, 0.54030231 +3.92462627j, 
     0.54030231 +2.66788185j, 0.54030231 +1.931478j , 
     0.54030231 +1.42919168j, 0.54030231 +1.05016033j, 
     0.54030231 +0.7417705j , 0.54030231 +0.47512034j, 
     0.54030231 +0.23216322j]) 
In [10]: np.abs(shifted/base) 
Out[10]: 
array([ 0.54030231, 0.58807001, 0.71949004, 0.91768734, 
     1.18100097, 1.52791212, 2.00562555, 2.72204338, 
     3.96164334, 6.77009977, 20.56100612, 20.56100612, 
     6.77009977, 3.96164334, 2.72204338, 2.00562555, 
     1.52791212, 1.18100097, 0.91768734, 0.71949004, 0.58807001]) 

Ich erwarte, dass ich durch shifted/base die entsprechenden Werte des Phasenfaktors erhalten könnte, aber wie man sehen kann, kann es nicht ein Phasenfaktor sein, da seine np.abs ist> = 1!

Answer 1

Das Problem in meinem Code war sowohl auf der Eingangsleitung 6, aufgrund einer falschen (meine Schuld) Interpretation des Rückgabewertes von np.fft.fftfreq(), und auf der Notwendigkeit, Pad-Arrays, um Klangergebnisse zu erzielen.

Der folgende Code funktioniert gut und könnte auf Multidimension erweitert werden.

In [1]: import numpy as np 
In [2]: shift = 1 
In [3]: dx = 0.5 
In [4]: pad = 20 
In [5]: x = np.arange(-10, 11, dx) 
In [6]: y = np.cos(x) 
In [7]: y = np.pad(y, (0,pad), 'constant') 
In [8]: y_shift = np.cos(x-shift) 
In [9]: y_fft = np.fft.fft(y) 
In [10]: w = np.fft.fftfreq(y.size, dx) 
In [11]: phase = np.exp(-2.0*np.pi*1.0j*w*shift) 
In [12]: test = phase * y_fft 
In [13]: # we use np.real since the resulting inverse fft has small imaginary part values that are zero 
In [14]: inv_test = np.real(np.fft.ifft(test)) 
In [15]: np.allclose(y[:-pad-2],inv_test[2:-pad]) 
Out[15]: True