Warum ist komplex Konjugierte die Standard in Matlab

Question

transponieren, wenn eine Matrix komplexe Element hat, und ich möchte von A bis A transponieren‘mit dem Befehl >>A' Warum ist Design, das in a-bi umgewandelt werden a+bi? Wozu dient es?

Answer 1

Von here:

für komplexe Matrizen, ist es fast immer der Fall, dass der kombinierte Betrieb die Transponierung und konjugiert komplexe Einnahme in physikalischen oder Rechen Kontexte entsteht und so gut wie nie die Transponierung in Isolation (Strang 1988, Seiten 220-221).

In Matlab, wenn Sie transponieren möchten ohne konjugieren verwenden .'.

Answer 2

Eigentlich würde ich argumentieren, dass es tiefe Gründe gibt, warum die Transponierte ist das Konjugat. Betrachten Sie eine Matrixdarstellung komplexer Zahlen. Lassen

I = (1 0)   J = (0 -1) 
    (0 1)    (1 0) 

und feststellen, dass die transponierte J() -J nur gleich ist. Dann haben wir diese Äquivalenz (j unter Verwendung der imaginären Einheit zu bezeichnen):

x + yj <---> xI + yJ 
(x + yj)* <---> xI - yJ = (xI + yJ)^T 

So war die komplexe Zahl Konjugieren der gleiche Vorgang wie der Matrixdarstellung umgesetzt wird. Was passiert, wenn wir eine nxn Matrix komplexer Zahlen haben? Warum können wir es dann einfach als 2nx2n Matrix von reellen Zahlen darstellen, wobei jede 2x2 Submatrix die Form xI + yJ hat! Stellt sich heraus, wenn Sie dies tun, dass die hermitesche (konjugierte) Transponierte der nxn komplexen Matrix ist nur gleichwertig mit der normalen Transponieren in der 2nx2n realen Form. Tatsächlich gehe ich weiter und behaupte (ohne Beweis), dass jeder Vektor oder jede Matrix über den komplexen Zahlen einen Isomorphismus in Vektoren/Matrizen über den Realen hat (letzterer hat die doppelte Dimensionalität), und diese konjugierte Transposition in der komplexen Version ist identisch mit Transposition in der realen Version.

In diesem Sinne würde ich sagen, dass die "gewöhnliche Transponierung" einer Matrix über die komplexen Zahlen tatsächlich eine sehr seltsame Sache ist. Es ist nicht überraschend, dass wir es nicht in Naturgesetzen finden!

Wenn Sie möchten, ist die natürliche Darstellung die 2nx2n echte Form. Zufällig entwickelten wir aus algebraischen Gründen zuerst die algebraische Form mit den Symbolen j oder i und erfanden die Idee der Konjugation, die eigentlich nur ein Spezialfall der Transponierung ist.

Daher - wenn Sie eine Matrix über die komplexen Zahlen transponieren, vervollständigt Matlab den Job, indem er die Elemente auch für Sie konjugiert.

Wenn Sie mehr erfahren möchten, lohnt es sich, über die Darstellungstheorie zu lesen. Wikipedia ist ein guter Anfang, obwohl ich ihren Artikel ein wenig technisch finde: https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory