affine Transformation auf der Kugel

Question

Ich habe 2 Sätze von Punkten, die auf der 3D-Einheit Sphäre leben beschränkt sind, nennen sie {pi} und {qi} (ich nehme an, Korrespondenz ist bekannt). Das Ziel ist es, einen Satz durch Rotationen und Übersetzungen zum anderen zu registrieren. Typischerweise ich hätte eine Transformation der Form verwendet:

P = RQ + T

wobei R eine Rotationsmatrix und T ein Translationsvektor.

Aber in diesem Fall gibt es eine zusätzliche Einschränkung, dass alle Punkte auf der Kugel leben müssen, wie kann ich diese Bedingung aufnehmen.

Answer 1

Angenommen, die Sätze sind "starr", so dass Sie den gesamten Satz auf der Kugel verschieben und drehen können, aber die Abstände zwischen den Punkten innerhalb eines Satzes nicht ändern können, sind alle möglichen Transformationen Rotationen.

Immer wenn Sie das Set relativ zu einer Achse drehen, bewegen sich die Punkte in Ebenen senkrecht zur Achse. Alle Verschiebungen sind also Vektoren senkrecht zum Achsenvektor. Daher sollten jeweils zwei Verschiebungsvektoren ein Vektorprodukt parallel zum Achsenvektor machen.

Nun, wenn man weiß, bereits die Entsprechung zwischen P und Q Punkten, berechnet Verschiebungsvektoren di von jedem qi zu einem entsprechenden pi und einige Vektorprodukte berechnen:

di × dj = (pi - qi) × (pj - QJ)

Wenn die Richtungen nahe genug beieinander liegen, können Sie davon ausgehen, dass Sie die Rotationsachse haben.

nun für jedes Paar oder pi, qi einen Punkt ti auf einer Achse finden, so dass das Dreieck PQT zur Achse normal ist. Der Winkel am T-Eckpunkt definiert die zu gleitende Drehung qi bis pi. Wenn alle entsprechenden Winkel gleich sind, bist du fertig. Andernfalls müssen Sie eine ungefähre Lösung suchen ...