Wie man eine orthogonale Ebene aus einem Vektor berechnet

Question

Ich habe eine Position im Raum namens X1. X1 hat eine Geschwindigkeit namens V1. Ich muss eine orthogonale Ebene senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor konstruieren. Der Ursprung des Flugzeugs ist X1.

Ich muss die beiden Kanten von der Ebene in zwei Vektoren, E1 und E2 drehen. Die Kanten verbinden sich am Ursprung. Die drei Vektoren bilden also eine Achse.

Ich verwende die GLM-Bibliothek für die Vektor-Mathematik.

Answer 1

Im Allgemeinen können Sie eine Ebene in 3D mit vier Zahlen definieren, z. B. Ax + By + Cz = D. Sie können sich das Tripel der Zahlen (A, B, C) als einen Vektor vorstellen, der senkrecht zur Ebene herausragt (der Normalvektor genannt wird).

Der Normalenvektor n = (A, B, C) definiert nur die Orientierung der Ebene, also abhängig von der Wahl der Konstante D erhalten Sie Ebenen in unterschiedlicher Entfernung vom Ursprung.

Wenn ich Ihre Frage richtig verstehe, hat die Ebene, die Sie suchen, normalen Vektor (A, B, C) = V1 und die Konstante D wird mit dem Skalarprodukt erhalten: D = (A, B, C) . X1, d. H. D = A X1.x + B X1.y + C * X1.z.

Hinweis: Sie können das gleiche Ergebnis auch mit der geometrischen Gleichung einer Ebene n erhalten. ((x, y, z) - p0) = 0, wobei p0 ein Punkt auf der Ebene ist, der in Ihrem Fall V1 ist. ((x, y, z) - X1) = 0.

Answer 2

Eine Möglichkeit, einen Frame aus einem Vektor zu erstellen, ist Householder transformations. Dies mag kompliziert erscheinen, aber der Code ist ziemlich kurz, mindestens so effizient wie die Verwendung von Kreuzprodukten und weniger anfällig für Rundungsfehler. Außerdem funktioniert genau dieselbe Idee in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen.

Die Ideen sind, gegeben einen Vektor v, finden Sie eine Householder - Transformation, die v auf ein Vielfaches von (1,0,0) abbildet, und wenden Sie dann das Inverse davon auf (0,1,0) und (0 , 0,1), um die anderen Rahmenvektoren zu erhalten. Da eine Householder-Transformation eine eigene Umkehrung ist und da sie einfach anzuwenden ist, ist der resultierende Code ziemlich effizient. Unten ist C-Code, den ich verwende:

static void make_frame(const double* v, double* f) 
{ 
double lv = hypot(hypot(v[0], v[1]), v[2]); // length of v 
double s = v[0] > 0.0 ? -1.0 : 1.0; 
double h[3] = { v[0] - s*lv, v[1], v[2]}; // householder vector for Q 
double a = 1.0/(lv*(lv + fabs(v[0]))); // == 2/(h'*h) 
double b; 
    // first frame vector is v normalised 
    b = 1.0/lv; 
    f[3*0+0] = b*v[0]; f[3*0+1] = b*v[1]; f[3*0+2] = b*v[2]; 

    // compute other frame vectors by applying Q to (0,1,0) and (0,0,1) 
    b = -v[1]*a; 
    f[3*1+0] = b*h[0]; f[3*1+1] = 1.0 + b*h[1]; f[3*1+2] = b*h[2]; 

    b = -v[2]*a; 
    f[3*2+0] = h[0]*b; f[3*2+1] = b*h[1];  f[3*2+2] = 1.0 + b*h[2]; 
}